动态数学 · AI创新少年

直线与圆的方程（选择性必修一·2）

拖 P、圆心 O′；滑滑块改直线 Ax+By+C=0 与半径 r。红段是 P 到直线的垂线段 d，绿虚线是圆心到直线的距离，绿点/绿弦是交点。

直线–

P 坐标–

圆心 / 半径–

点到直线 d–

圆心到直线 d′ / r–

位置关系–

弦长 2√(r²−d′²)–

A3.0

B4.0

C-12.0

半径 r2.40

…

点到直线距离 d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)；圆心到直线 d′ 与 r 比大小：d′ < r 相交、d′ = r 相切、d′ > r 相离；相交时弦长 = 2√(r² − d′²)。

圆锥曲线：椭圆 / 双曲线 / 抛物线（选择性必修一·3）

选曲线类型、滑滑块改 a（与 b 或 p）；拖 P 在曲线上跑，看两个焦半径之和（差）——恒等于 2a。

a3.00

b（抛物线时为 p）2.00

P 的离心角 θ（度）40

离心率 e–

a / b / c–

焦半径关系–

P 坐标–

…

椭圆：|PF₁| + |PF₂| = 2a，c = √(a² − b²)，e = c/a < 1；双曲线：||PF₁| − |PF₂|| = 2a，c = √(a² + b²)，e = c/a > 1，渐近线 y = ±(b/a)x；抛物线：|PF| = 到准线距离，e = 1。

导数与切线（选择性必修二·5）

选函数，拖红色 x₀ 点（或滑滑块）：红直线是切线、绿虚线是割线；h 越小割线越贴近切线。

切点横坐标 x₀1.20

割线步长 h0.60

当前函数–

切点 P₀–

导数 f′(x₀)–

切线实测斜率–

割线斜率 Δy/Δx–

中心差商自检–

切线方程–

…

导数的几何意义：f′(x₀) 就是曲线在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率；切线方程 y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀)；割线斜率 [f(x₀+h) − f(x₀−h)]/(2h) 在 h → 0 时趋于 f′(x₀)。

函数单调性与极值（选择性必修二·5）

f(x) = x³/3 − a·x + b，f′(x) = x² − a。拖 x₀ 看该点切线（红）的倾斜方向；x 轴上的色条是 f′ 的符号：绿 = 增、橙 = 减。

a（决定 f′ 的零点）3.00

b（上下平移，不影响 f′）0.00

考查点 x₀1.00

单调区间–

极值–

x₀ 处导数符号–

x₀ 处切线斜率–

…

f′ > 0 的区间上函数递增、f′ < 0 的区间上递减；f′(x₀) = 0 且左右导数变号 → x₀ 是极值点（左正右负为极大、左负右正为极小）；a ≤ 0 时 f′(x) = x² − a ≥ 0，单调递增、无极值。

立体几何：体积 / 截面 / 外接球（必修二·8）

选几何体、拖滑块调尺寸与截面高度 t：面板里实时给出体积、表面积、外接球半径与截面面积公式和值。真 3D：按住空白处拖动旋转视角、滚轮缩放。

棱长 a2.00

半径 r2.00

高 h4.00

截面高度 t（从底部算）2.00

几何体–

尺寸–

体积–

表面积–

外接球半径–

截面面积–

…

正方体 V = a³、外接球 R = (√3/2)a；圆柱 V = πr²h、外接球 R = √(r² + (h/2)²)；圆锥 V = πr²h/3、母线 l = √(r²+h²)、外接球 R = (r²+h²)/(2h)；球 V = 4πr³/3、S = 4πr²。已接入真 3D（离线 three.js）：可旋转视角、滚轮缩放；橙色圆/方形就是滑块高度 t 处切出来的真实截面，几何体裁剪到该平面（蓝白线框是外接球，对应「外接球半径 R」）。

计数原理：加法原理与乘法原理（选必三·6）

n、k 控制“从 n 个里取 k 个”的分步选法；m、t 是两类办法各自的种数（分类相加）。

总数 n5

取出个数 k2

第 1 类办法 m 种3

第 2 类办法 t 种4

排列 A(n,k)–

组合 C(n,k)–

分类加法–

恒等式 ΣC(n,i) = 2ⁿ–

…

分类加法：完成一件事有 m 类互不干扰的办法，各类分别有 n₁…nₘ 种 → 共 n₁+…+nₘ 种；分步乘法：需依次完成 k 步，第 i 步有 mᵢ 种 → 共 m₁×…×m_k 种。A(n,k) = n!/(n−k)!、C(n,k) = A(n,k)/k!。

随机变量及其分布：二项 / 超几何（选必三·7）

柱高 = P(X = i)（按最大概率归一化，橙色是最大概率处），下面给出期望与方差。

试验次数 n10

单次成功概率 p0.30

期望 E(X)–

方差 D(X)–

标准差 √D–

归一化自检–

…

二项分布 X ~ B(n,p)：P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ，E(X) = np，D(X) = np(1−p)；超几何分布 X ~ H(N,M,n)：P(X=k) = C(M,k)C(N−M,n−k)/C(N,n)，E(X) = nM/N，D(X) = n·(M/N)(1−M/N)·(N−n)/(N−1)。

整式的加减：去括号与化简求值（七上·4 整式的加减（旧 2））

滑块调括号系数 a、括号内常数 b、括号外常数 c 与代入值 x：方块数 = |a| 个 x 块，小格 = |a·b| 与 |c|。

括号系数 a-1

括号内常数 b-3

括号外常数 c0

代入值 x5

去括号后–

代入（原式）–

代入（化简式）–

恒等偏差–

一元一次方程：解方程五步与判别（七上·5 一元一次方程（旧 3））

滑块调 a、b、c 与试解 x：数轴上绿点是方程的根，红点是你试的 x；a 拉到 0 时不再是「一元」方程。

未知数系数 a3

常数 b2

右边 c11

试解 x3

方程类型–

移项：ax = c − b–

系数化 1：x = (c − b)/a–

左边 ax + b / 右边 c–

残差（左 − 右）/ 验根–

…

解一元一次方程五步：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1。ax + b = c 的根 x = (c − b)/a（a ≠ 0）；a = 0 时未知数的次数不再是 1，不是一元一次方程。

几何图形初步：立体图形的展开与折叠 · 真 3D 折叠（七上·6 几何图形初步（旧 4））

挑一张展开图 → 点「折叠 ▶」看它折成正方体（拖进度条可以停在任意中间状态）；有三张是折不成的，折到最后会把相撞的两个面标红。空白处拖动可转视角、滚轮缩放。

展开图（11 种能折 + 3 种折不成）

折叠进度0%

立体图形–

面数 F / 棱数 E / 顶点数 V–

欧拉公式 V − E + F–

展开图面积 = 表面积–

能否折回立体图形–

折叠判定–

折完后几何自检–

…

正方体有 6 个面、12 条棱、8 个顶点，恰好有 11 种展开图（本页把它们全枚举出来了：程序枚举出全部 35 种六连方，其中 11 种能折成正方体）；另有田字型 / 1×6 长条 / 凹型等折不成的，折到最后会看到两个面撞在同一位置。判定不是写死的：折完后把 6 个面的 24 个角点合并，应当恰好剩 8 个顶点（正方体），并满足欧拉公式 V − E + F = 2。
注：原「T 型 2-3-1」那张图画错了（折起来两个面会撞在一起），本版已换成验过的可折 2-3-1。圆柱 / 圆锥是曲面体，只能展平展示，不能按棱折叠。

平面直角坐标系：点坐标与平移/对称（七下·9 平面直角坐标系（旧 7））

拖右侧坐标系里的红点 P（吸附到 0.5 网格）；橙点 = P 平移 (dx, dy)，蓝/绿/紫点 = 关于 x 轴 / y 轴 / 原点对称。

右移 dx4

上移 dy-1

P 的坐标–

平移后 P′ 的坐标–

关于 x 轴 / y 轴对称–

关于原点对称–

自检：平移偏差 / |OP| 不变–

…

点 P(x, y)：向右平移 a、向上平移 b → (x + a, y + b)；关于 x 轴对称 → (x, −y)，关于 y 轴对称 → (−x, y)，关于原点对称 → (−x, −y)。关于坐标轴对称只改变一个坐标的符号，关于原点对称两个都变号；平移前后 |OP| 不一定相等，但平移量处处相同。

二元一次方程组：两直线交点 = 方程组的解（七下·10 二元一次方程组（旧 8））

滑块调两条直线 y = k₁x + b₁ 与 y = k₂x + b₂：交点坐标就是方程组的解（k₁ = k₂ 时无解或无数解）。

k₁（第一条直线）-1

b₁5

k₂（第二条直线）1

b₂-1

方程组–

交点（= 方程组的解）–

代入残差 r₁ / r₂–

解的情况–

…

两条直线 y = k₁x + b₁、y = k₂x + b₂（即方程组的两个方程）：k₁ ≠ k₂ → 直线相交，交点坐标就是唯一解；k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂ → 平行、无解；k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂ → 重合、无数解。

三角形：三边关系 · 外角 · 多边形内角和（八上·13 三角形（旧 11））

左：三边 a、b、c 能否构成三角形；右：正 n 边形的内角和。三角形顶部的角就是真实几何形状（由三边算角）。

边 a3

边 b4

边 c5

三边关系–

三个内角 A / B / C–

外角 ∠ACD（C 的外角）–

正 n 边形的边数 n5

n 边形内角和–

…

三边关系：任意两边之和大于第三边（判断能否构成三角形的充要条件）。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以外角和 = 360°。n 边形内角和 = (n − 2) × 180°。

分式：基本性质与定义域（八上·18 分式（旧 15））

红点是 (x² − 1)/(x − 1) 在整数点的值，蓝线是化简式 y = x + 1；x = 1 处是空心点（分式无意义）。

x2

同一个非零数 m（用于基本性质）2

分子 x² − 1–

分母 x − 1–

原式的值 / 化简式 x + 1–

是否有意义（定义域）–

基本性质 (x·m)/(1·m) 恒等–

…

分式的基本性质：分子、分母同乘（或除以）一个不为 0 的整式，分式的值不变（a/b = am/bm，m ≠ 0）。分式有意义的条件：分母 ≠ 0 —— (x² − 1)/(x − 1) 约分后是 x + 1，但 x = 1 仍必须排除（约分不改变定义域）。

数据的分析：平均数 · 中位数 · 众数 · 方差（八下·24 数据的分析（旧 20））

五个滑块就是 5 个数据；橙线 = 平均数，绿线 = 中位数。把最后一个数据拉大，看两条线的差别。

数据①1

数据②2

数据③3

数据④4

数据⑤5

排序后–

平均数–

中位数–

众数 / 极差–

方差–

对比：把数据⑤改成 100–

…

平均数 = 总和 ÷ 个数；中位数 = 排序后中间那个（偶数个取中间两个的平均）；众数 = 出现次数最多的数；方差 = 各数据与平均数差的平方的平均数，越大波动越大。平均数会被极端值「拉走」，中位数抵抗极端值。

一元二次方程：判别式与抛物线交点（九上·25 一元二次方程（旧 21））

抛物线 y = ax² + bx + c（纵向自动压缩以便完整显示）；它与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax² + bx + c = 0 的根。

a（二次项系数）1

b（一次项系数）-5

c（常数项）6

方程–

判别式 Δ = b² − 4ac–

根 x₁ / x₂（取 6 位小数）–

与 x 轴交点个数–

顶点坐标–

代入验证（两式残差）–

…

求根公式：x = (−b ± √Δ)/(2a)，Δ = b² − 4ac。Δ > 0 两个不相等实根（抛物线与 x 轴两个交点）；Δ = 0 两个相等实根（相切于一点）；Δ < 0 无实根（抛物线与 x 轴不相交）。

锐角三角函数：直角三角形边比随角变化（九下·28 锐角三角函数（旧 28·2024 新版未上线））

滑滑块改变 ∠A：斜边 AP 长度固定，对边 PB、邻边 AB 随之伸缩；比值就是 sin/cos/tan。

∠A（度）30

sin A = 对边 / 斜边–

cos A = 邻边 / 斜边–

tan A = 对边 / 邻边–

自检 sin²A + cos²A − 1–

勾股自检 |PB|² + |AB|² − |AP|²–

…

在 Rt△APB 中（∠B = 90°）：sin A = 对边/斜边、cos A = 邻边/斜边、tan A = 对边/邻边。A 从 0° 增到 90°：sin 从 0 增到 1（单调递增）、cos 从 1 减到 0（单调递减）；sin²A + cos²A = 1 恒成立（勾股定理的三角形式）。

一元二次函数、方程和不等式：三个二次联动（必修一·2 一元二次函数、方程和不等式）

拖动 a、b、c 改变抛物线；拖动红点 x₀ 看 f(x₀) 的符号。Δ = b² − 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数。

二次项系数 a1.00

一次项系数 b−2.00

常数项 c−3.00

取点 x₀2.20

判别式 Δ = b² − 4ac–

方程 ax²+bx+c = 0 的根–

顶点坐标–

不等式 f(x) > 0 的解集–

不等式 f(x) < 0 的解集–

f(x₀) 与符号–

…

Δ > 0：抛物线与 x 轴有两个交点，方程有两不等实根；Δ = 0：相切，两相等实根；Δ < 0：无交点、无实根。a > 0 时 f(x) > 0 的解集在两根之外（x < x₁ 或 x > x₂）、f(x) < 0 在两根之间；a < 0 时相反。

函数的概念与性质：定义域 · 奇偶性 · 单调性（必修一·3 函数的概念与性质）

选一个函数，拖动点 P（或用滑块改 x）：空心的 P′ 是 P 关于 y 轴的对称点，坐标为 (−x, f(−x))，用它就能读出奇偶性。

取点 x1.40

当前函数–

定义域–

函数值–

奇偶性–

奇偶性自检（f(−x) ± f(x)）–

单调性–

值域（区间 [0, 3] 上）–

…

奇函数满足 f(−x) = −f(x)（图象关于原点对称）、偶函数满足 f(−x) = f(x)（图象关于 y 轴对称）。定义域关于原点对称是讨论奇偶性的前提（如 f(x) = 1/x 的定义域 x ≠ 0 关于原点对称）。

统计：分层抽样 · 系统抽样 · 样本估计总体（必修二·9 统计）

拖「层人数」与「样本量」滑块：浅蓝柱是各层人数 Nᵢ、橙柱是分层抽样抽到的人数 nᵢ，两柱高度之比应与人数之比一致。

第 1 层人数 N₁600

第 2 层人数 N₂300

第 3 层人数 N₃100

样本量 n100

总体容量–

样本量自检–

分层抽样分配 nᵢ–

比例对照–

系统抽样间隔 k–

简单随机抽样 3 次–

与总体均值的偏差–

…

分层抽样（按比例分配）：nᵢ = Nᵢ·n/N（N 是总体容量）；系统抽样：等距抽取，间隔 k = N/n；简单随机抽样：每个个体等可能被抽到，每次样本均值都不同，但都围绕总体均值波动 —— 这就是「用样本估计总体」。

概率：古典概型与随机模拟（必修二·10 概率）

拖「点数和」滑块：左下方 6 × 6 网格里橙色格就是点数和等于该值的那些结果；再拖「模拟次数」看模拟频率向理论概率靠近。

点数和7

模拟次数1000

生日问题人数 n23

古典概型 P(A)–

模拟设置–

模拟频率–

频率 − 理论–

生日问题–

…

古典概型：P(A) = A 包含的基本事件数 ÷ 基本事件总数（每个基本事件等可能）。两个骰子共 36 个等可能结果，点数和为 7 的有 6 个 → P = 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667。生日问题：P(n 人中至少两人生日相同) = 1 − 365×364×…×(365−n+1)/365ⁿ，n = 23 时已超过 0.5。

空间向量与立体几何：法向量 · 面积 · 点面距 · 真 3D（选必一·1 空间向量与立体几何）

真 3D 视图：拖动空白处旋转视角、滚轮缩放；直接拖 A/B/C/P 改它们的 (x, y)（射线打在该点所在的水平面上），4 个滑块改各自的 z 高度。橙色箭头是平面 ABC 的单位法向量 n̂，红色虚线是 P 到平面的垂线段（带垂足）。

A 的 z 坐标0.00

B 的 z 坐标0.00

C 的 z 坐标0.00

P 的 z 坐标0.80

向量 AB→ 与 AC→–

法向量 n = AB→ × AC→–

单位法向量 n̂–

|n̂| 自检–

△ABC 面积 S = ½|n|–

cos∠BAC–

点 P 到平面 ABC 的距离–

平面自检–

…

真 3D：可旋转、可缩放，四个点在三维中直接拖（x、y 由拖动给出、z 由滑块给出）。空间向量常用套路：取平面内两条相交直线得向量 AB→、AC→，则 n = AB→ × AC→ 就是平面的法向量（n̂ = n/|n| 是单位法向量，必有 |n̂| = 1）；面积 S = ½|n|；空间任意一点 P 到平面的距离 d = |AP→·n̂| = |AP→ 在法向量方向上的投影长|；两向量夹角 cosθ = (a→·b→)/(|a→||b→|)。